O primeiro livro do ano

Na verdade, já comecei a leitura em dezembro 2013, mas é um livro difícil (bem escrito, mas o conteúdo é difícil), daqueles que não dá para ler antes de dormir já morrendo de sono.

É o segundo livro do autor que leio, e o outro, apesar de ter um conteúdo mais fácil que esse, compreendi bem na segunda vez que li, uns dois anos depois da primeira

leitura. E esse aqui também vou ler de novo, daqui a uns dois anos.

A Janela de Euclides, de Leonard Mlodinow, dá destaque para a história da geometria. Na verdade ele traz história da geometria, da matemática, das ciências, da educação e da civilização ocidental (não dá para separar tudo isso...), temperando com muita física. Achei o livro difícil provavelmente por causa da física – eu me divirto com os números, mas minha visão espacial é horrível, e tenho problemas com coisas abstratas, mesmo na matemática.

Na parte histórica, a humanidade tinha uma bagagem de conhecimento muito boa já nos séculos a.C. e primeiros séculos d.C., com os gregos antigos, a biblioteca de Alexandria, etc..., conhecimento esse que se perdeu, em grande parte, pela cobiça dos homens em conquistar territórios, em dar mais valor à força física do que ao conhecimento, e ao desejo de dominação através do medo e da ignorância. Grande parte dos textos antigos se perdeu durante o período das trevas da Idade Média. Aliás, nessa época, a perda foi dupla: além da destruição dos manuscritos dos grandes pensadores da antiguidade, literalmente destruindo o conhecimento, não se permitiu a produção de novos conhecimentos, “parando” o ocidente em sentido intelectual. Algumas coisas antigas que foram resgatadas demonstram que os nossos antepassados tinham feito descobertas e concluído coisas incríveis, que só foram “redescobertas” recentemente, pois se partiu de uma base quase zero de conhecimento. Se os estudos tivessem sido continuados ininterruptamente, seríamos muito mais avançados.

O livro se baseia nas lacunas encontradas em “os Elementos”, de Euclides, tendo isso como base para toda a evolução da Geometria. As lacunas encontradas abriram base para muitos questionamentos. Aquilo que estudamos na escola, que a menor distância entre dois pontos é uma reta, e que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a 180°, etc, não constituem verdades absolutas, na prática isso só funciona para medidas pequenas. Até o Teorema de Pitágoras não funciona para dimensões maiores (dimensão, nesse caso, utilizado como sinônimo de medidas)!!! Chegando até Einstein, ele incluiu como elemento para determinarmos a medida das coisas, o tempo. Sim, o tempo interfere no tamanho das coisas, e a quantidade de massa também (não só pelo seu volume, mas pela densidade). Para entender esse tipo de coisa é que preciso ler o livro de novo daqui a uns dois anos.

Uma questão que a ciência ainda busca explicar, juntando física com matemática – se é que isso pode ser separado – é a composição do universo: De que somos feitos?

Lembram dos livros do colégio, que diziam que os antigos (nem tão antigos assim) acreditam que o universo era preenchido por uma substância chamada Éter? Inclusive o vácuo do espaço era preenchido por éter, e a existência dessa substância é que permitiria a propagação da luz e a transmissão de ondas. Hoje isso caiu por terra, mas ainda se questiona do que é formado o universo, o que é que compõe a matéria... Para isso são construídos os aceleradores de partículas, que permitem estudar a essência da matéria, as partículas, micropartículas, nanopartículas e assim por diante que compõem a matéria. O que está por dentro dos prótons, nêutrons, neutrinos, bósons, etc....

Uma teoria moderna, A Teoria das Cordas, diz que não seriam partículas, mas cordas, cordas vibrantes e tão pequenas que um acelerador de partículas que permitisse percebê-las teria que ter uma dimensão mínima do tamanho da nossa galáxia (ou talvez até do universo visível), o que é impossível construir. Quem sabe daqui a muitos anos, a humanidade tenha outra tecnologia e seja possível fazer isso de outra forma, mas por enquanto isso é impossível. Os cientistas conceberam a teoria das cordas através de observação de fenômenos e com cálculos matemáticos. Essas micro micro micro micro micro cordas vibram, e vibração é energia, e energia é massa. Quanto maior a vibração maior a energia, ou seja, maior a massa. Com os diferentes tipos de vibração, são compostos diferentes tipos de matéria, que nós conhecemos. Por isso se diz que existem 10 dimensões, de acordo com a teoria, para permitir diferentes tipos de vibrações.

Explicando as dimensões, até onde eu consegui entender: Quando você tem uma folha A4 para desenhar, você tem duas dimensões, simplificando seria horizontal e vertical. Quando você faz uma maquete, isso é em 3D, existe a profundidade também, o que já aumenta as suas possibilidades. Imagine se pudesse desenhar ou construir em mais dimensões, isso seria muito mais rico... mas aí já é abstrato demais para mim, não consigo conceber como seriam essas dimensões, dá um nó nas minhas ideias.

Mas voltando para as cordas: a teoria diz que as cordas são compostas de coisa alguma, pois se as cordas fossem compostas de alguma coisa, voltaríamos ao problema inicial da composição do universo (pronto, outro nó na minha cabeça: como pode algo ser composto de nada? – cri -cri - cri).

Existiam umas cinco versões para a teoria das cordas, e isso passou a ser um grande problema, uma vez que a intenção dessa teoria era ser única para explicar todo o universo, e o fato de existirem cinco versões a invalidava. Com isso surgiu a “Teoria M”, de Edward Witten, o maior físico da atualidade (já se cogita compará-lo a cientistas como Gauss e Descartes, e garanto que quase ninguém ouviu falar dele, mas o Neymar todo mundo sabe quem é, affff). A teoria M unificou as 5 versões da teoria das cordas, e disse que as cordas, que são unidimensionais (apesar de vibrarem em 10 dimensões) são compostas de branas (ufa, as cordas são feitas de alguma coisa). Branas é uma abreviatura de membranas, e as branas vibram em 11 dimensões. Citando o texto do livro: “...seu aspecto mais estranho é este: na teoria M, o espaço e o tempo, em algum sentido fundamental, não existem.” Diz que o espaço e o tempo seriam estruturas matemáticas que conhecemos como matrizes, e matrizes onde todos os elementos da diagonal principal são constantes e os demais tendem a ser zero.

Vou estudar álgebra linear para não ficar de fora da Teoria M, mas só depois de reler “O Mundo de Sofia”, para ver se eu descubro se existo mesmo ou não. E não me arrisco a falar mais sobre o assunto. O próprio Mlodinow – autor do livro – diz que isso são teorias que têm sido amplamente utilizadas pela comunidade científica, mas somente teorias, que um dia podem ser contraditas como foi a teoria do éter.

Posso ter cometido alguns erros ao tentar explicar, que com certeza tiveram como origem a interpretação errada do que eu li, já que algumas coisas foram muito novas e bem complexas para mim, e tive que simplificar para poder compreender ao menos um pouco do que estava estudando.

A leitura muito curiosa, o autor escreve de modo divertido, mesmo falando de um assunto tão formal (descobri porque o Sheldon gosta de trens: Einstein adorava usar trens para explicar a relatividade, por causa daquela sensação que você tem quando o trem começa a se movimentar, de não saber se é o seu trem ou o trem que está ao lado que está se movendo). Em alguns trechos, para conseguir explicar um assunto mais complexo, o autor dá muitas voltas e a leitura fica um pouco tediosa, mas foi a forma que ele encontrou de “traduzir” um fenômeno científico para fatos cotidianos e permitir (ou ao menos tentar facilitar) a compreensão por leitores leigos, então é perdoável.

De qualquer forma, aprendi muito, tanto sobre ciência como sobre história, e aprendi isso de uma forma bem prazerosa lendo o livro..Sim, acreditem, ciência é divertidíssima.

Técnicas de Prova

·         Prova por contradição: Este teorema contradiz um resultado bem conhecido encontrado por Isaac Newton.

·         Prova por metacontradição: Provamos que existe uma prova. Para fazer isso, presuma que não exista uma prova...

·         Prova por postergação: Vamos provar isso na semana que vem.

·         Prova por postergação cíclica: Como provamos na semana passada...

·         Prova por postergação indefinida: Como falei na semana passada, vamos provar isso na semana que vem.

·         Prova por intimidação: Como qualquer idiota pode ver, a prova é obviamente trivial.

·         Prova por intimidação postergada: Desculpe professor, o senhor tem certeza disso? – Professor sai durante meia hora. Volta. – Tenho.

·         Prova por gesticulação: Autoexplicativa! – mais eficaz em seminários e conferências.

·         Prova por gesticulação vigorosa: - Mais cansativa, porém mais eficaz.

·         Prova por citação hiperotimista: Como Pitágoras provou, a soma de dois cubos nunca é igual a um cubo.

·         Prova por convicção pessoal: Tenho a crença profunda de que o conjunto pseudo-Mandelbrot quaterniônico é localmente desconexo.

·         Prova por falta de imaginação: Não consigo imaginar nenhum motivo pelo qual seja falsa, portanto, deve ser verdadeira.

·         Prova por referência futura: Minha prova de que o conjunto pseudo-Mandelbrot quaterniônico é localmente descone aparecerá num artigo vindouro. – Com frequência não tão vindouro quanto parecia quando a referência foi feita.

·         Prova por exemplo: Provamos o caso n = 2, então seja 2 = n.

·         Prova por omissão: Os outros 142 casos são análogos.

·         Prova por terceirização: Os detalhes ficam por conta do leitor.

·         Prova por notação ilegível: Se você estudar as próximas 500 páginas de fórmulas incrivelmente densas em seis alfabetos, verá que ela tem de ser verdadeira.

·         Prova por autoridade: Encontrei o Milnor na lanchonete e ele disse que achava muito provável ser localmente desconexo.

·         Prova por comunicação pessoal: O conjunto pseudo-Mandelbrot quarteniônico é localmente desconexo  (Milnor, comunicação pessoal).

·         Prova por autoridade vaga: Sabe-se bem que o conjunto pseudo-Mandelbrot quarteniônico é localmente desconexo.

·         Prova por autoridade provocativa: Se o conjunto pseudo-Mandelbrot quarteniônico não for localmente desconexo, vou pular da ponte de Londres usando uma fantasia de gorila.

·         Prova por alusão erudita: A conectividade local do conjunto pseudo-Mandelbrot quarteniônico decorre da adaptação dos métodos de Cheeseburguer e Fritas às quase variedades não compactas de infinitas dimensões sobre anéis de divisão de de característica maior que 11.

·         Prova por redução ao problema errado: Para vermos que o conjunto pseudo-Mandelbrot quaterniônico é localmente desconexo, basta reduzi-lo ao teorema de Pitágoras.

·         Prova por referência inacessível: Uma prova de que o conjunto pseudo-Mandelbrot quarteniônico é localmente desconexo pode ser facilmente derivada das memórias de Pzkizwcziewszczii, impressas privadamente e contidas no volume 11/2 das provas editoriais da revista Atas do círculo de tricô das damas do sul de Liechtenstein, publicadas em 1831 antes que toda a edição fosse destruída.

STEWART, Ian. Incríveis passatempos matemáticos. Rio de Janeiro: Zahar, 2010. - Vale a pena comprar o livro!

"Sempre me pareceu estranho que todos aqueles que estudam seriamente esta ciência acabam tomados de uma espécie de paixão pela mesma. Em verdade, o que proporciona o máximo prazer não é o conhecimento e sim a aprendizagem, não é a posse mas a aquisição, não é a presença mas o ato de atingir a meta."

Carl F. Gauss.

A Dimensão da Mente

Era uma vez um mundo bidimensional que possuía largura e comprimento; ali não existia a altura. Todos em Terra Plana moviam-se livremente, como as sombras se movem sobre a Terra, totalmente inconscientes da dimensão altura.

O personagem principal da Terra Plana era o Quadrado que certa noite teve um sonho, no qual se viu transportado para a Terra Linear. Na Terra Linear, todas as coisas eram ou pontos ou série de pontos organizados em linhas retas. Todos se locomoviam livremente nessa dimensão, mas não tinham qualquer idéia da existência da largura e da altura. Nessa Terra Linear, nosso herói Quadrado tentou de todas as maneiras explicar aos seus habitantes, sem sucesso, as características da dimensão que faltava. Frustrado, foi até a linha mais longa desse local e disse: - Aqui na Terra Linear você é a linha das linhas, ou a rainha das linhas, mas na minha terra, Terra Plana, você nada seria. Comparada aos habitantes de lá, você pouco representaria, enquanto eu, comparado aos nobres de minha terra, sou apenas um quadrado.

Todas as linhas ficaram magoadas e zangadas com o que o Quadrado disse, e se alinharam, prontas para atacá-lo, quando este, de repente, despertou de seu sono, trêmulo, mas feliz ao perceber que tudo não passara de um sonho.

Mais tarde, naquele mesmo dia, Quadrado explicava ao seu filho, Pentágono, algumas noções de Geometria Plana (Na Terra Plana, cada geração seguinte, na linhagem masculina, possuía um lado a mais que seu respectivo pai, até atingir tantos lados que se tornavam indistintos do circulo, a ordem sacerdotal. Mas é claro, havia uma exceção, os inferiores triângulos, que sempre serão triângulos).

À medida que o Quadrado procurava explicar ao filho como achar a área de um quadrado, através do quadrado da medida de um dos seus lados, o filho pergunta-lhe o que poderia acontecer na Geometria se alguém elevasse ao cubo esta mesma medida. O Quadrado explicou, pacientemente que não existia tal coisa de “elevado ao cubo” na Geometria.

O menino, confuso, continuou insistindo, até que o Quadrado, zangado, mandou-o para a cama, advertindo-o de que ele fosse mais sensato e se falasse menos besteira se sairia melhor em Geometria.

Naquela noite, sentado lendo o jornal, o Quadrado continuou resmungando para si mesmo: “Não existe este negócio de elevado ao cubo na Geometria...”. De repente, ele ouviu uma voz às suas costas, dizendo: “Sim, existe!” Olhou assustado para os lados e viu uma esfera brilhante na sala. A Esfera era uma visitante da Terra Espacial, quando resolveu criar para o Quadrado algo que aqui chamamos de experiência transcendental ou metafísica, isto é, ela o transportou para a Terra Espacial.

O Quadrado abriu os olhos, olhou ao seu redor e disse: “Isso é uma loucura...ou então é o próprio Inferno!”. E a Esfera respondeu: “Não, não é nenhum dos dois...Isto é Conhecimento... Abra os olhos e olhe ao seu redor”.

Assim o Quadrado fez, e excitado com tudo que via começou a falar e questionar a Esfera sobre a possibilidade da existência de mundos com quatro ou até cinco dimensões. A Esfera respondeu, zangada: “Não existe tal absurdo!” e, aborrecida mandou-o rapidamente de volta a Terra Plana.

O Quadrado desde então, rodou pela Terra Plana pregando a visão mística de um mundo de três dimensões. Desacreditado, foi confinado numa instituição mental, onde, uma vez por ano, era visitado por um Circulo da classe dos sacerdotes, que o entrevistava e avaliava como ele estava indo.

E todas as vezes ele insistia em tentar explicar ao Círculo a dimensão da Terra Espacial, e todas as vezes, o Círculo, desanimado, balançava a cabeça e o deixava trancafiado por mais um ano.

(Se alguém souber o autor, me informe e completo o post. Recebi esse texto da minha professora Maricélia, que recebeu de um aluno.)

Poesia Matemática

Millôr Fernandes

Às folhas tantas
do livro matemático
um Quociente apaixonou-se
um dia
doidamente
por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
e viu-a do ápice à base
uma figura ímpar;
olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo retangular, seios esferóides.
Fez de sua uma vida
paralela à dela
até que se encontraram
no infinito.
"Quem és tu?", indagou ele
em ânsia radical.
"Sou a soma do quadrado dos catetos.
Mas pode me chamar de Hipotenusa."
E de falarem descobriram que eram
(o que em aritmética corresponde
a almas irmãs)
primos entre si.
E assim se amaram
ao quadrado da velocidade da luz
numa sexta potenciação
traçando
ao sabor do momento
e da paixão
retas, curvas, círculos e linhas sinoidais
nos jardins da quarta dimensão.
Escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidiana
e os exegetas do Universo Finito.
Romperam convenções newtonianas e pitagóricas.
E enfim resolveram se casar
constituir um lar,
mais que um lar,
um perpendicular.
Convidaram para padrinhos
o Poliedro e a Bissetriz.
E fizeram planos, equações e diagramas para o futuro
sonhando com uma felicidade
integral e diferencial.
E se casaram e tiveram uma secante e três cones
muito engraçadinhos.
E foram felizes
até aquele dia
em que tudo vira afinal
monotonia.
Foi então que surgiu
O Máximo Divisor Comum
freqüentador de círculos concêntricos,
viciosos.
Ofereceu-lhe, a ela,
uma grandeza absoluta
e reduziu-a a um denominador comum.
Ele, Quociente, percebeu
que com ela não formava mais um todo,
uma unidade.
Era o triângulo,
tanto chamado amoroso.
Desse problema ela era uma fração,
a mais ordinária.
Mas foi então que Einstein descobriu a Relatividade
e tudo que era espúrio passou a ser
moralidade
como aliás em qualquer
sociedade.

As Leis da Probabilidade

A primeira postagem do Matematizando... muita responsabilidade isso, hein.

Vou começar com as Leis da Probabilidade, transcritas do "Andar do Bêbado" (Leonard Mlodinow, 2008).

Reflexão interessante....

1) A probabilidade de que dois eventos ocorram nunca pode ser maior do que a probabilidade de que cada evento ocorra individualmente.

2) Se dois eventos possíveis, A e B, forem independentes, a probabilidade de que A e B ocorram é igual ao produto de suas probabilidades individuais.

3) Se um evento pode ter diferentes resultados possíveis, A, B, C e assim por diante, a possibilidade de que A ou B ocorram é igual à soma das possibilidades individuais de A e B, e a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis (A, B, C e assim por diante) é igual a 1 (ou seja, 100%).